GENB035 Езикът на формалното
Анотация:
Целта на курса е студентите да се запознаят с най-характерното в различните математически дисциплини – геометрия, алгебра, диференциално и интегрално смятане, логика и т. н., благодарение на което те се превръщат в части на единна математическа наука. Затова курсът разглежда историческото развитие на главните идеи в математиката: дедукция и формално доказателство, аксиоматизация, безкрайността, понятието число, алгоритмичните процеси и др. Като илюстрация за проникването на математически методи в изкуствата са включени музикалната хармония, геометричните орнаменти, правилните тела, "златното сечение" и др. Пример за приложение в политическата практика е математическият анализ на избирателните системи.
Още у древните гърци откриваме подчертан интерес към формалното мислене, който липсва у всички по-стари или паралелни цивилизации. Този интерес се проявява и в игровите форми на диалектиката (парадокси, софизми), и в завършената логическа теория на Аристотел (силогистиката), и в дедуктивното изграждане на геометрията (Евклид). Исторически погледнато, феноменът на формализма (можем да го наречем още аналитизъм или структурализъм) се заражда в древногръцката култура по същото време, по което и другите културно-политически явления, залегнали в основите на днешната евроатлантическа цивилизация: театърът (трагедията и комедията), лириката, каноните на архитектурата, пропорциите на красивото тяло, музикалната хармония, демокрацията и т. н. Оттогава насетне формалното остава определящ елемент в търсенията на европейския човек, ръководен от философията на рационализма. Древните гърци първи и единствени осъзнават Формалното като ценност, но и днес, макар превърнато вече в световен научен стандарт, то остава най-характерният елемент на европейското мислене. В този смисъл съвременната световна цивилизация е продължение на европейската. Основният елемент на рационалното познание – словесното описание на мирозданието – може да бъде проследен от Хераклитовия Логос през Стария завет (Бог създава и именува), Новия завет (Светът е Слово), Галилей (Светът като отворена книга) и Лайбниц (езикът на “универсалните характеристики”) до Айнщайн и съвременните теории, свеждащи законите на Космоса и материята до формални връзки между няколко фундаментални константи. Това описание използва езика на математиката и затова е полезно да се познават както главните му механизми, така и неговите граници.
Преподавател(и):
доц. Владимир Сотиров д-р
Описание на курса:
Компетенции:
Студентите, които прослушат този курс, ще се запознаят с основните характеристики на формалния математически език и неговата методология. Така у слушателя ще се затвърди интересът към формалното мислене, за да може той да открива неговите елементи в съвременното третиране на природата, обществото и личността.
Предварителни изисквания:
Няма освен гимназиалните познания и вкус към формални разсъждения. Примерите, които ще се разглеждат, не изискват специални предварителни познания, а ще бъдат изцяло обяснявани на лекциите. Изложението ще бъде богато илюстрирано.
Форми на провеждане:
Редовен
Учебни форми:
Лекция
Език, на който се води курса:
Български
Теми, които се разглеждат в курса:
1. Имената: темата за именуването в Стария и Новия завет; теорията на имената при древните гърци и схоластиците; реални и номинални дефиниции; теория на определенията на Паскал; теория на денотацията на Фреге; теория на дескрипциите на Ръсел; проблеми с именуването в народното съзнание (Й. Радичков).
2. Доказателството: емпиричната математика на Вавилон и Египет; нагледната геометрия в Индия; аксиоми и теореми в Древна Гърция; разнообразието от геометрии — Евклид, Лобачевски, Риман; дедуктивният метод и аксиоматичното изграждане като образец за останалите науки.
3. Математическата символика: зараждане на буквените означения (Демокрит, Виет); Декартовият координатен метод и алгебричната семантика на геометрията.
4. Математическият език: формалната логика в Древна Гърция от Сократ до силогистиката на Аристотел; формалната логика след Лайбниц, Бул и Де Морган; теорията на множествата след Кантор; парадоксът на Ръсел.
5. Метаматематика: аксиоматичното изграждане на математиката от Елементи на Евклид до Елементи на геометрията на Хилберт; граници на формализацията – теореми на Гьодел за непълнота; недоказуемост на непротиворечивостта.
6. Числото: математическа природа на броенето; Питагор и числовият мистицизъм; несъизмеримост на диагонала на квадрата с неговата страна; кризата с ирационалността (Платон, Аристотел, Евклид); въвеждане на нови видове числа — нула, дробни, ирационални, отрицателни, имагинерни.
7. Номерации: бройни системи и имена на числата в различни езици; означаване на числата (римска система, византийска система, “арабски” цифри и др.).
8. Безкрайността: кои множества са крайни и кои — безкрайни; йерархия на безкрайностите: изброими (дискретни) множества и континуум; изброимост на текстовете в естествените езици (Хорхе Луис Борхес – Алефът и Вавилонската библиотека); разлики между буквената и йероглифната писменост; изкуствата от гледище на типовете безкрайност.
9. Рационално и ирационално познание: Логосът (Хераклит) и Дао (Лао-дзъ); възможност и невъзможност на словесното описание на мирозданието.
10. Изчислимото: конструктивни и неконструктивни разсъждения в математиката; Ал-Хорезми и природата на алгоритмите; програмата на Лайбниц за алгоритмизиране на познанието (Calculemus!); граници пред алгоритмичните процедури.
11. Сметачните машини: от абака до компютъра (Паскал, Лайбниц, Бабидж, Джевънс, Фон Нойман); може ли машината да мисли? (тест на Тюринг).
12. Случайността: характер и закони на случайните събития; теория на вероятностите у Паскал и Ферма; детерминизмът на Лаплас и проблемът за свободата на волята; теодицея според Лайбниц.
13. Информацията: мярка на информацията; двоични бройни системи (И-дзин и Лайбниц); бит и байт; неопределеност и ентропия; психофизика и закон на Вебер–Фехнер за връзката между дразнение и усещане.
14. Логическата семантика: Аристотеловата логика и модалностите; двузначни и многозначни логики; семантики на "възможните светове" у Лайбниц, Карнап, Крипке и Монтегю; семантиката като превод на езика на истината и лъжата.
15. Формализираният естествен език: формална семантика на някои граматични категории, характерни за индоевропейските езици (определеност–неопределеност, модалност, темпоралност, контрафактичност и др.)
16. Геометричните форми: "златното" сечение в Древна Гърция и през епохата на Възраждането (Питагор, Евклид, Леонардо да Винчи, Дюрер); правилните многостени у Платон, Архимед и Кеплер; кристали и запълване на пространството с правилни "тухли"; пчелни пити и паркетиране с правилни фигури; геометрична класификация на типовете розетки, фризове и мозайки.
17. Нерешимите задачи на древността: построения с линийка и пергел; трисекция на ъгъла, удвояване на куба и крадратура на кръга (алгебрични и трансцендентни числа); построяване на правилни многоъгълници (Гаус); редукция на механизмите за геометрични построения.
18. Музикалната гама: хармоничните интервали у Питагор и Платон; "добре темперираното пиано" на Бах; устройство на европейската музикална скaла; други възможни скaли (пентатоника, арабска).
19. Математика и демокрация: съгласуване на индивидуалните предпочитания и колективния избор; избирателни системи и теорема на Кенет Ароу за невъзможност на “добра” система на избор от няколко алтернативи, освен ако системата не е диктаторска; недостатъци на мажоритарната избирателна система.
20. Рационалното поведение: теория на игрите и рационалният избор (“дилема на затворниците”); анализ на конфликтни ситуации и печеливши стратегии на участниците в тях.
Литература по темите:
1. Платон. Тимей, Държавата, Теетет.
2. Аристотел. Метафизика.
3. Лао-дзъ. Дао де-дзин.
4. История на математиката, тт. 1–4. София, 1974–1981.
5. Р. Курант, Х. Робинс. Що е математика? София, 1980.
6. Х. Щайнхауз. Математически калейдоскоп. София, 1974.
7. Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. Москва, 1981.
8. Х. Кокстер. Вечната геометрия. София, 1979.
9. Б. ван дер Варден. Пробуждаща се наука. Математиката на Древния Египет, Вавилон и Гърция. София, 1968.
10. D. Pedoe. Geometry and the Liberal Arts. Penguin, 1976.
11. Х. Вайл. Симетрия. София, 1975.
12. А. Яглом, И. Яглом. Вероятность и информация. Москва, 1973.
13. A. Rapoport. Fights, Games and Debates. Ann Arbor, 1960.
14. A. Taylor. Mathematics and Politics. Strategy, Voting, Power and Proof. New York, 1995.
15. R. Luce, H. Raiffa. Games and Decisions. New York, 1957.
16. Вл. Сотиров. Логика, учебник, 2002.
Средства за оценяване:
Тестове;
реферати